Шар можно «разбить» на куски и собрать из них два таких же шара:
Как и почему? Согласно
Парадоксу Банаха-Тарского — теореме в теории множеств, утверждающей, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям.
Два подмножества евклидова пространства называются равносоставленными, если одно можно разбить на конечное число частей, передвинуть их, и составить из них второе. При этом для удвоения шара достаточно пяти частей, но четырёх недостаточно.На первый взгляд — это какая-то математическая фантасмагория, но парадокс доказывается при принятии
Аксиомы выбора«Для каждого семейства непустых непересекающихся множеств существует (по меньшей мере одно) множество , которое имеет только один общий элемент c каждым из множеств данного семейства»Такие они загадочные люди — эти математики. Пока физики шутят и продолжают шутить — математики спорят. Вот такой вот
пургаторий 
А сам парадокс Банаха-Тарского не такой уж и невероятный при детальном рассмотрении, ведь эти куски неизмеримы, что же тут непонятного?
А по поводу парадокса я имел ввиду что и шар — не шар, и парадокс — не парадокс.
Доказательство приведено в английской вики, в частности ответ (не развернутый) на ваш вопрос вот тут в последнем абзаце. Своими словами, потому что группа поворотов, которую мы используем, раскладывается, хотя и с трудом, на четыре множества + нейтральный элемент, и такие выкрутасы с нашим математическим шаром возможны при нахождении группы поворотов изоморфной свободной группе F2 c двумя генераторами, над который произведён первоначальный выкрутас.